效用函数临界保费理赔

论文摘要:根据保险人保险定价的效用方程,分别讨论了在3种不同效用函数下的临界保费.

从管理决策的角度看,保险产品的定价问题、准备金提留问题、再保险自留额问题以及资产负债配比问题都是风险和不确定条件下的决策.从风险决策的理论和实践知道,合理的决策不仅取决于对外在环境的不确定的把握,而且取决于决策者对自身的价值结构判断.在保险学中,通过引入效用函数来描述决策者的风险态度、偏好和价值结构,并将它与潜在损失或理赔的概率评估有机结合起来,从更加综合的角度寻求诸多保险决策问题的解.

一般地,决策者的风险态度被分为三种类型:风险偏好、风险厌恶和风险中立,分别对应着他们的效用函数u(x)的曲线为上凸、下凸和直线三种情况.最普遍的情况是厌恶风险,本文重点讨论此种情况.

1保险定价问题

引理1(Jensen不等式)设决策者的风险是厌恶风险,即它的效用函数u(x)满足u′(x)>0,u″(x)<0,则对于随机变量X,成立如下不等式E[u(X)]≤u[E(X)].

假定决策者(保险人)拥有财富W.若要承保,则可以在原有财富W的基础上增加一笔保费收入G,但是得替被保险人承担风险,其财富变成了随机变量W+G-X,其中随机变量X表示风险,其概率分布为F(x).若不承保,则保险人确定地拥有财富W.设保险人关于确定量和关于随机变量分布的效用函数分别为u(x)和U[X],则对保险人而言,“合理”的承保保费应满足不等式U[W+G-X]≥u(W).G越小,要承保的效用U[W+G-X]越小,当G小到使等号成立时,承保已无任何吸引力,所以保险人愿意接受的最底保费G*是使得上式等号成立的临界值,称为临界保费.

根据期望效用原理,随机变量X的“效用”U[X]可以转化为随机变量函数u(X)的期望,即

U([X])=E[u(X)]=∫Du(x)dF(x).

其中F(x)是随机变量X的分布函数,D是随机变量X的取值范围.

2主要结论

对于风险决策者常用的.效用函数有以下几种:直线型效用函数、抛物线型效用函数、指数型效用函数、对数型效用函数和分数幂型效用函数等.下面给出前3种情况下的临界保费.命题

1设保险人的效用函数为直线型,

u(x)=ax+b,理赔X的概率分布为F(x),则临界保费G*=E[X].

证明考虑保险人定价的效用方程为

U([W+G*-X])=u(W).

∵U([W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]

=E[a(W+G*-X)+b]

=aW+aG*-aE[X]+b,

u(W)=aW+b,

联立两式得G*=E[X].

命题1说明对于风险态度中立的决策者来说,临界保费即是纯保费,但这只是一种理想的情况.命题2设保险人的效用函数为抛物线型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0

G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

证明考虑保险人定价的效用方程为

U([W+G*-X])=u(W).

∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]

=12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)

=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},

u(W)=W-αW2,

联立两式得下列方程

-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW-1)E[X]-αE[X2]=0.

解关于G*的一元二次方程得

G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α

=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

特别地,当W=0时,

G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)

≈E[X]+ασ2(X),转

此时σ2(X)12α.这正是非寿险保费定价中的“方差原理”,因为在金融分析中常用方差(或标准差)来度量风险的大小,方差越大,不确定的程度越大.保险人把它作为一条加费的理由,因而在纯保费E[X]的基础上又多了一项“安全附加费用”.

命题3设保险人的效有函数为指数型,u(x)=-e-αx,α>0,假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为G*=1αlnMX(α),其中MX(α)为理赔随机变量X的矩母函数.证明考虑保险人定价的效用方程为

U([W+G*-X])=u(W).

∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])

=+∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)

=-e-α(W+G*)+∞0eαxdF(x)

=-e-α(W+G)*MX(α),

u(W)=-eαW,

联立两式得G*=1αMX(α).

可以看出对于这类特殊的效用函数,临界保费与保险人所拥有的财富大小无关.

3总结

效用理论一直是研究在风险和不确定条件下进行合理决策的理论基础,保险研究之中除保险定价以外,决定合理的准备金、自留额以及选择合理的财务方案都可以以此作为决策的原理.因此,它具有很强的理论指导作用.

从以上几个例子可以看出,实际保险定价中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不过是期望效用的特殊形式,它们对应着一次、二次多项式等简单的效用函数.类似地,还可以讨论对数效用函数u(x)=lnx、分数幂效用函数u(x)=xr(0

参考文献

[1]谢志刚,韩天雄.风险理论与非寿险精算[M].天津:南开大学出版社,2000.

[2]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2000.

[3]卢仿先,曾庆五.寿险精算数学[M].天津:南开大学出版社,200【第1句】：

[4]胡炳志.保险数学[M].北京:中国金融出版社,19【第91句】：

读完了这篇文章，我被文中的小女孩——刘雅感动了。当我读到“妈妈，你知道吗？今天，我在学校里看到一位跟你差不多年纪的阿姨也在脚手架上，她也没系保险绳，我担心死了时。”被刘雅的.牵挂感动了，她是个懂得感恩的人，在那个时候我想：下面她可能会说不再乱花钱，买贵的东西了。我往下读，我竟然跟她想到一块去了。我继续读着，被她那一颗为他人着想的心给惊住了，因为她说服了母亲系保险绳后，又对那个不知名的阿姨说了请系上保险绳。

这时，我不禁想起了以前的故事：记得有一次，哥哥和他的一个朋友打篮球，我不认识他，就用“喂”来称呼他，我看了一会儿他们俩打篮球，就去找朋友玩，哥哥突然跑了过来，说“喂”受伤了，我跑过去瞥了“喂”一眼，只是破了点皮没什么大不了，哥哥却要我去叫外公帮他包扎伤口，我不愿意，又想：外公现在忙着呢，我又不想去，那我就继续玩吧。后来，我才从哥哥口中得知我走了以后“喂”的脚才开始出血。这件事过了好几天我都没有忘记，我一直在想，当时我是不是太自私了，应该好好学习刘雅。

读完了这篇文章，我懂得了一个道理：学会感恩要从感谢养育、教育和帮助过自己的人，感谢自然、社会与生命，感谢逆境及苦难做起。懂得感恩，就懂得发现美、欣赏美和创造美。

早在好几年前就听说过友邦保险，这是一家规模很大的跨国保险公司，上世纪九十年代初来到上海，对中国保险业的发展产生的影响极为深远，特别是它在中国的几个大中城市的迅速崛起，多多少少让人觉得有点儿神秘，我作为一名保险从业人员确实也很想了解一下这家公司，看他到底是一家怎样的公司，同时也期望从中找到点儿什么灵丹妙药，让本机构的能够尽早走出困境，步入良性发展轨道，解密读后感。正好分公司个险部把《解密友邦》一书推荐给我们，通过认真阅读，收获颇深。现就把我个人看后的一些感想发表如下：

【第1句】：追求卓越，要做就做最好。

友邦保险“源自中国”，它的母公司――美国国际集团AIG位居世界500强前10名，1992年友邦保险获得了中国开放外资的第一张经营许可证，成立了友邦上海分公司，后来又陆陆续续的在深圳、广东、江苏和北京成立了8家分支机构,由于受政策的限制，友邦不可能大规模的扩张机构，但非常注重对每一个机构的精耕细作，在每一个有友邦保险的地方,人们都会感到友邦的存在，它有着一流的业绩平台一流的经营效益，常常成为同业仿效的.对象，几乎所有的竞争对手都会感到来自友邦的压力，不得不提出要向友邦学习，发出“两眼看友邦”的感叹。

【第2句】：严格的管理，大胆的创新。

友邦的掌门人格林伯格拥有一支强有力的管理团队，他对属下的要求是严格的，集中控制是公司管理的重要手段，如果没有令行禁止的作风，公司必然是一盘散沙，执行力的好坏是一个公司成功的关键。但友邦的严格管理并没有束缚员工的思想，而是积极了鼓励员工大胆创新，培养员工的独立判断能力，不论是新产品的开发，还是服务领域的拓展，友邦公司均走在行业的前列，从而使公司活力永存，立于不败之地。

【第3句】：保障是保险公司永恒的经营主题。

友邦认为，寿险不同于储蓄和投资，它首先是一项充满爱心得事业，买人寿保险是为了自己的父母、爱人、子女，是爱心的延伸。目前我国股市大牛，股票和基金成了眼下最热的投资渠道，而保险公司也推出了一些投资型保险，把保险和投资融为一体，既获得保障，又分享了牛市的成果。但作为投保者一定要明白，保险最主要的功能是保障，投资回报只是附加的价值。因此，我们在推销保险产品的时候，一定要理直气壮的宣传保障功能，卖出保险的产品特色。

【第4句】：必须建立一支特别能战斗的代理人队伍。

与一般的物质产品不同，寿险产品时一种无形的产品，购买的是未来，这些特点决定寿险产品必须靠一支较庞大的代理人队伍来完成。对代理人又必须是佣金制，佣金制为每个代理人描绘了一个蓝图，公开的薪酬体系加上公平的晋升途径使每一位代理人都能够看到自己未来和希望，从而极大的激发了他们的从业积极性。但同时友邦对代理人的要求又是严格的，推销寿险是一种专业性极强的工作，代理人一方面要了解投保人的特殊需求和特殊的心里，另一方面要精通寿险业务，了解不同的险种。而要想使代理人做到专业化，严格的培训是必不可少的。友邦要求代理人必须具备良好的职业道德和专业知识，并且通过社会监督来促使保险代理人提升服务质量。

【第5句】：服务是保险公司生存发展的基础。

在保险市场上友邦的品牌价值是很高的，友邦认为保险就是以高品质的服务为基础的，友邦品牌的制造过程就是先从服务入手，而且在一系列的售后服务中，理赔可以说是客户最关心的核心问题，在一般人看来，保险公司在推销保险时非常热情，一旦客户需要进行赔偿时则困难重重，门难进，脸难看，事难办。找这领导签字、找哪领导签字，客户因此认为保险理赔困难重重，而友邦则主张“投保从严，理赔从宽”，严格的体检可以帮助投保人及早的发现自己的病情，并为以后的快速理赔打下基础。友邦率先在业内提出“为客户找理由来理赔”的理赔理念，同时不论理赔金额大小，都一视同仁，深得人们的广泛认同。它们把“以人为本，以客为尊”作为自己的座右铭，通过完善的培训系统培养专业、诚实、守信、值得信赖的代理人，因为保险公司的优质服务在很大程度上是通过代理人表现出来的。为我们的民族保险业的快速发展提供了可以借鉴的地方。